球面上のランダムな点 - 名称未設定フォルダのエイリアス

(3次元)単位球面上から、偏りなくランダムに点を得たいとします。

単位円上であれば、区間 $[0,2\pi)$ 上の一様乱数 $\theta$ を生成すれば点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ が目的のものとなりますが、
球座標 $(r,\theta,\phi)$ で同様に「 $\theta$ は $[0,\pi)$ 、 $\phi$ は $[0,2\pi)$ 上の一様乱数」としてしまうと極付近に点が偏ってしまいます。

方法1

区間 $[-1,1]$ 上の一様乱数を3つ生成し、 $a,b,c$ とする。
点 $(a,b,c)$ が単位球に含まれていれば、
$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{{a^2+b^2+c^2}}}\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}$
が目的のもの。含まれていなければやり直し。

分かりやすくて良いですね。
ただ、1回で点が得られるとは限らないのが残念です。

$(a,b,c)$ は単位球内から偏りなく選ばれるので、もちろん $(x,y,z)$ も単位球面上から偏りなく選ばれます。

方法2

$\phi$ を $[0,2\pi)$ 上の、 $z$ を $[-1,1]$ 上の一様乱数とすれば、
$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{1-z^2}\cos \phi \\ \sqrt{1-z^2}\sin \phi \\z \end{pmatrix}$
が目的のもの。

これだとまた極方向に偏ってしまいそうですが、そうはなりません。

球座標 $(r,\theta,\phi)$ で $\theta,\phi$ を一様乱数にすると、微小面積 $\sin\theta d\theta d\phi$ に対して(?)一様に点が
分布することになるため、 $\sin\theta$ が小さい極付近に点が集まってしまいます。
ここで
　 $\cos\theta = z$
とすれば
　 $\sin\theta d\theta d\phi = -dzd\phi$
となり、 $\phi$ と $z$ を一様乱数とすれば偏りは無くなります。

方法3

正規乱数を3つ生成し、 $a,b,c$ とすれば、
$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{{a^2+b^2+c^2}}}\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}$
が目的のもの。

某所で最近見かけたのですが、どうやら正規乱数を用いると簡単に書けるようです。

正規分布は
　 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{x}{2}}$
のような形をしているので、ある点(a,b,c)が選ばれる確率密度(?)は
　 $(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}})^3 e^{-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}$
となり、原点からの距離 $sqrt{a^2+b^2+c^2}$ にのみ依存する(等方的である)、といった感じでしょうか。
これだと任意の次元に使えそうですね。