ライフゲームの生存セル密度

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Jyakky君(id:jyakky7)が昔「初期配置がランダムであるライフゲームのセルの生存セルが全体の3%程度に落ち着く」と言っていたのをふと思い出して、自分でも確かめてみたのですが、確かに3%程度に落ち着きますね。この3%というのはどこから来るのか気になったので、少し考えてみました。


同じ世代内において、全てのセルの生存確率が等しいと仮定し、これをpと置く。
このとき、各セルの周囲8マスのうち、
2マスが生きている確率(aとする)は _8C_2 * {p^2}(1-p)^6
3マスが生きている確率(bとする)は _8C_3 * {p^3}(1-p)^5
これらを用いて、次の世代での各セルの生存確率は p(a+b)+(1-p)bと表せる。
a,bを代入して整理すると、28{p^3}{(1-p)^5}(3-p)
生存確率がある値に落ち着くとき、p=28{p^3}{(1-p)^5}(3-p)が成り立つ。
0 \le p \le 1となる解のみを考えればよいので、p=0.0000,0.1925,0.3702


…駄目ですね。3%、つまり0.03とはほど遠い値になってしまいました。「全てのセルの生存確率が等しい」とした仮定に無理があったのでしょう。
例えば、一定以下の密度になった領域はそのまま密度0まで落ちて行ってしまいますし、ブロック、ブリンカーなどの「定常状態になったセル群」は他の生きたセルが近くに来ない限り(グライダーが飛んでくる、など)周囲の密度0の領域に影響を及ぼしませんよね。


と、これくらい書いておけば偉いひとが教えにきてくれるのではないかと妄想しています。

ライフゲームの生存セル密度(補足)

コンピュータ

上では有限の大きさの空間で試しましたが、本当は無限の大きさの空間について考えたい所ですよね。
でも、無限に広い空間だと有限の時間内に定常状態に達しませんね。
もっと言うと、時間で密度の極限を取っても収束する保証がないですね。どうしましょう。